Se establece el sencillo concepto de rectas antiparalelas, que permite deducir un buen número de propiedades de los triángulos. Igual ocurre con las rectas isogonales con relación al ángulo.

Se inicia el tratamiento de la inversión en el plano, que seguirá estudiándose en el resto de la publicación.

La definición de la razón simple de tres puntos y la razón doble de cuatro puntos, permite el establecimiento tanto de las abascisas baricéntricas como de las proyectivas.

Se trata, a continuación, la proyectividad entre series rectilíneas y las involuciones, así como la proyectividad entre series circulares, estudiando con detalle el famoso problema de Castillón.

Se estudian, luego, los teoremas de Desargues, así como las figuras homotéticas y la relación entre los conceptos: inversión, homotecia y potencia.

Terminamos con la resolución del conocido problema de Apolonio.

Se estudia con detalle la circunferencia de Euler-Feuerbach, conocida también como la circunferencia de los nueve puntos, sobre la que se determina la recta de Euler.

El teorema de Simpson sobre la circunferencia circunscrita de un triángulo, permite hablar de la recta de Simpson.

Al estudiar la circunferencia inscrita en un triángulo se establecen las relaciones de Euler y el teorema de Feuerbach.

Se establecen a continuación los teoremes de Menelao y Ceva, así como el primer teorema de Pappus.

Definimos, la semimediana de un triángulo y las aplicaciones de la determinación del punto de Lemoine, y a continuación las circunferencias de Lemoine, Taylor, Ticker, Brocard y Newberg.

Al tratar con los cuadriláteros se establecen los teoremas de Euler, de Ptolomeo y el segundo teorema de Pappus, para terminar con los teorems de Pascal y Brianchon.

Finalizamos con el estudio de la proyectividad entre figuras de segunda categoría, las homologías y el espacio proyectivo.

Se hace un estudio exhaustivo de los polígonos estrellados, tratándose además el pentágono y las propiedades de los decágonos y pentadecágonos regulares.

Se retoma aquí el tema de la inversión, que ya conocemos, con el desarrollo de algunos problemas clásicos.

Seleccionamos, ahora, de la conocida geometría del compás de L.Mascheroni, un buen número de problemas que muestran las posibilidades del compás.

Asimismo, del geómetra Jacobo Steiner, que estableció la geometría de la regla, ejemplarizamos un buen número de casos.

Por último, se dedica un capítulo a la representación de curvas en paramétricas, implícitas, explícitas y polares.

Como aplicación de lo estudiado en los tomos anteriores se ejemplarifica la construcción de triángulos: equiláteros, isósceles, rectángulos y escalenos.

En todos los ejemplos, siguiendo las indicaciones del texto, se llega a la construcción del triángulo pedido, del que siempre tenemos como información tres datos.

En muchos de ellos, antes de dar la solución, es decir, los pasos a seguir para su realización, se hace una reflexión, como es la de suponer el problema resuelto, lo que en general justifica la marcha a seguir.

Como curiosidad, en más de una ocasión aparecen enunciados repetidos, como justificación de que la construcción de un triángulo no tiene por qué ser única

Consta este libro de 7 capítulos dedicados al estudio de las cónicas y de las cuádricas, pero con un tratamiento que se escapa del clásico sobre estos temas.

En particular, las cónicas se plantean desde distintos puntos de vista: primero como secciones de un cono de revolución por un plano que no pasa por su vértice, luego, como lugares geométricos, a continuación como homólogas de una circunferencia y, por último, como formas cuadráticas sobre el cuerpo real.

En cuanto a las cuádricas, su estudio es ayudado por algunas visualizaciones, totalmente analítico.

Dado que las cónicas son curvas planas y las cuádricas superficies, en un espacio tridimensional parece que un estudio general de las curvas, tanto planas como alabeadas, así como las superficies, se amplíam conceptos y propiedades interesantes.

En particular, sobre la curvatura de superficies de las secciones oblícuas que pasan por una misma tangente, se enuncia el teorema de Meusnier.

Después de establecer el principio de inducción completa y los sistemas de numeración, se trata la divisibilidad y los números primos, así como el m.c.d. y el m.c.m., estudiando, también, la congruencia.

Siguen los logaritmos y, en particular, la combinatoria, de aplicación inmediata al cálculo de probabilidades que sigue.

Una curiosidad la constituyen los cuadrados mágicos y los triángulos pitagóricos.

Se dedica un capítulo entero al estudio de las sucesiones de números reales y a la determinación de sus correspondientes límites.

A continuación se tratan las progresiones, tanto las aritméticas como las geométricas, siguiendo con las series numéricas y las series potenciales, finalizando con unas nociones de las series de Fourier.

Por último, utilizando la llamada programación, se da la solución a un problema clásico, como es el de las torres de Hanoi.

El objetivo de este libro es plantear una sucesión recurrente, que particularizada nos determine los denominados números de Fibonacci, conocidos ya en el siglo XIII, siendo su autor Leonardo de Pisa, apodado precisamente Fibonacci. Estos números poseen una serie de curiosas propiedades que estudiaremos en la primera parte del libro, que alcanzan a diversas partes de la matemática, entre otras la geometría a través del que llamaremos número de oro, generado en la obtención de los mismos (Teorema de Binet), como veremos en La segunda parte de nuestra exposición. A las 19 proposiciones que se establecen acompañamos abundantes ejemplos aclaratorios para una mejor comprensión. La presencia de los números estudiados se hace presente hasta en la elaboración de las determinadas ternas pitagóricas.

Se trata de ejemplarizar, lo más posible, el estudio de las formas normales de una matriz, utilizando generosamente los métodos de Caros y Jangel, todo ello ya estudiado en publicaciones anteriores. En definitiva, de un recordar en lo que se refiere a la determinación de una matriz de Jordan, por el interés que presumiblemente tiene. Antes de llegar a ese punto, se ha tenido buen cuidado de tratar, también las formas normales de una matriz; las denominadas forma normal material y forma normal cuasi material, tras plantearnos los denominados factores univariantes, así como los llamados divisores elementales, y en ambos sus correspondientes matrices acompañantes. El resultado al que llegamos es a poder manejar los tres tipos de matrices que genera cualquier matriz que podamos plantearnos. Terminamos con unos resúmenes de conceptos estudiados en un momento que no nos va a sobrar.

Entendemos por geometrías no euclideanas las que conservan todos los postulados de Euclides, salvo uno de ellos: El postulado de las paralelas. El objetivo que me propongo aquí, siquiera sea someramente, describir esas geometrías, a partir del nuevo conjunto de postulados de la geometría plana, establecidos por Hilbert. Dos serán las geometrías a considerar: La hiperbólica y la elíptica, estableciendo para cada una de ellas sendos modelos.
En cuanto a la primera, la hiperbólica, serán dos los modelos desarrollados: El de Klein y el de Poincaré. El primero precisa de un cierto conocimiento de la denominada homología, mientras que para el segundo es preciso manejar con soltura la inversión en el plano, conocimientos que debería poner el estudiante. Por si acaso les remito a los apéndices, en los que tanto la homología como la inversión están tratados ampliamente.
En cuanto a la segunda, la elíptica, también serán dos los modelos desarrollados: la geometría esférica y la propia geometría elíptica.
Recordemos como creadores de la geometría hiperbólica a Lobachevski, Bolyai, Gauss y de la geometría elíptica a Riemann, en particular, a la geometría métrica euclideana, se le suele llamar parabólica. El libro consta de tres capítulos y un total de siete lecciones pensadas para facilitar un estudio escalonado. Así tenemos; Capítulo I: Lección 1.- Se comentan ampliamente los elementos de Euclides, y se plantean, limitándonos a la geometría plana, los cinco grupos de axiomas establecidos por Hilbert, como réplica moderna de tales elementos. Se apuntan ya, como casos particulares de la geometría proyectiva, según la clasificación establecida por F. Klein, las tres geometrías que nos va a interesar: La euclideana (de Euclides), la hiperbólica (de Lobachevski, Bolyai) y la elíptica (de Riemann). Lección 2 y 3.- Se construye el primer modelo de la geometría hiperbólica, el denominado “modelo proyectivo de Klein”, dándole lo que consideró suficientes pinceladas para su mejor comprensión. Capítulo II: Lección 4, 5 y 6.- Se construye el segundo modelo de la geometría hiperbólica, debido a H. Poincaré, que corre en paralelo con el anterior de Kein, con la particularidad de que la herramienta principal utilizada es, en este caso, la inversión, mientras en el de Klein era la homología. Capítulo III: Lección 7.- Se estudia aquí la geometría elíptica, en una doble versión, generadas por la denominada geometría de la “radiación de rectas”. De esta geometría cabe destacar que, a diferencia de la hiperbólica, a la que ocasionalmente se la denomina “no euclideana absoluta”, por verificar los cuatro primeros axiomas de Euclides, la elíptica no los respeta totalmente; sin embargo, ambas tienen en común la negación del quinto axioma. De alguna manera complementa, este libro, al conjunto de los cinco que conformaron mi “Miscelánea de la Geometría”, dedicada, en forma exhaustiva, al desarrollo de la geometría métrica euclideana.

El objetivo de este libro es muy claro. He tratado que el estudiante se sienta, con él, como en una clase de tutoría. Los capítulos representan los grandes temas, y las lecciones en que se dividen pretenden que el estudio sea progresivo, polarizándose en partes concretas, encadenadas para facilitar el dominio del tema en cuestión. Así mismo, cada lección se subdivide en apartados que pretenden facilitar su seguimiento a modo de peldaños de una hipotética escalera, en la que las lecciones sean los correspondientes descansillos para alcanzar el gran tema.
En el Capítulo I se manejan los conjuntos y sus relaciones, en particular los binarios que tanto juego han de dar. Luego se estudian, con detalle, las relaciones de equivalencia, las de orden y las leyes de composición internas, todas ellas visualizadas para su mejor comprensión. En el Capítulo II, se estudian con gran detalle los grupos y los subgrupos, las isometrías, los homomorfismos de grupos, y muy en particular los grupos finitos, los simétricos, los cíclicos, y los normales; atención especial se dedica al grupo que opera sobre un conjunto, y sobre todo se estudia con detalle el Teorema de Sylow, como complemento al también estudiado Teorema de Lagrange. El Capítulo III trata con estructuras más complejas, como son los añillos, y en particular los cuerpos, con sus correspondientes homomorfismos, después de lo cual se establecen las funciones polinómicas y los polinomios, hasta establecer el algoritmo de Euclides. Por último se trata la factorización de polinomios y la descomposición en fracciones simples. En el Capítulos IV se trata, con gran detalle, las extensiones de un cuerpo y, en particular las extensiones algebraicas, para terminar estudiando las raíces de la unidad y los polinomios, ciclotómicos. Tiene un especial interés la última lección que trata sobre la indemostrabilidad de los tres problemas griegos: Cuadraturas del círculo, duplicación del cubo y la trisección de un ángulo, todo ello después de establecer el cuerpo de los números construibles y de ayudarnos de la proposición de Wantze

Los temas principales abordados son: Conceptos Fundamentales y Coordenadas en la Recta. El autor establece las bases de la geometría proyectiva a partir de la recta real, extendiéndola mediante la introducción de nuevos sistemas de coordenadas: Abscisas Cartesianas: Se basan en la biyección entre la recta y los números reales mediante un origen (O) y una unidad (U). Se definen conceptos como la distancia entre puntos y la Fórmula de Chasles. Razón Simple y Doble: La razón simple de tres puntos establece una biyección entre los puntos de la recta (excluyendo uno) y los números reales. La razón doble de cuatro puntos es un concepto clave que no varía ante ciertas permutaciones y define la cuaterna armónica cuando su valor es -1. Coordenadas Proyectivas y Baricéntricas: Se introduce el punto impropio para formar la recta proyectiva. Las coordenadas proyectivas utilizan una terna de puntos de referencia (límite, origen y unidad) para establecer una biyección con la recta proyectiva. Proyectividad entre Series Rectilíneas. Se define la proyectividad (o homografía) como toda biyección entre dos rectas que conserva la razón doble: Ecuación Bilineal: Analíticamente, se representa mediante la ecuación $axx' + bx + cx' + d = 0$. Teorema Fundamental: Existe una única proyectividad que hace corresponder tres pares de puntos distintos entre dos rectas. Puntos Dobles e Involución: Una proyectividad puede tener puntos dobles (donde el punto coincide con su imagen), clasificándose en hiperbólica, parabólica o elíptica. La involución es un caso especial donde la correspondencia es doble (si f(X)=X', entonces f(X')=X). Figuras de Primera Categoría. El estudio se amplía a otras formas geométricas básicas: Tipos de figuras: Se definen las series de puntos (base en una recta), haces de rectas (vértice en un punto) y haces de planos (arista en una recta). Conservación de la Razón Doble: Se demuestra que la razón doble se mantiene al seccionar un haz de rectas por una recta o un haz de planos por una recta auxiliar. Coordenadas en el Plano y Dualidad. Se introduce el concepto de Plano Proyectivo ampliando el plano euclídeo con una recta impropia: Coordenadas Homogéneas: Los puntos se representan por ternas $(x_1, x_2, x_3)$ definidas a menos de un factor no nulo. Ley de Dualidad: Es un principio fundamental que permite intercambiar los roles de "punto" y "recta" en las proposiciones geométricas. Así, surgen las coordenadas tangenciales para representar rectas de forma análoga a los puntos. Teorema de Desargues: Establece que si dos triángulos son homológicos desde un punto (sus vértices están alineados con un centro U), entonces sus lados correspondientes se cortan en puntos alineados sobre una recta (eje de homología). Polo y Polar: Se explica la construcción de la polar armónica de un punto respecto a un triángulo utilizando un cuadrilátero completo.

El objetivo de este libro sigue siendo el que expliqué en el anterior, en el que traté los Grupos, Anillos y Cuerpos. Me repito: Sigo tratando que el estudiante siga una lectura como si se tratara de una clase de tutoría, en la que el profesor (libro) aclara al lector las dudas que puedan haberle surgido en una primera lectura, con las muchas llamadas de ¡ATENCIÓN! Intercaladas, y los muy numerosos ejemplos que siguen a cualquier definición o proposición que van apareciendo; la composición, e última instancia, de las demostraciones de las propiedades que constituyen el edificio construido, lo hará dominadores del tema en cuestión.
El esquema de libro sigue siendo idéntico al anterior: Capítulos, Lecciones y Apartados. En el Capítulo I se introduce la noción del espacio vectorial, la de subespacio, y el de dependencia e independencia lineal. La particulariza, luego, a los espacios vectoriales de dimensión finita, en el que aparece como elemento importante el concepto de base. Generalizamos lo anterior a los espacios de dimensión finita. En particular se estudia la Relación de Grassmann. Los algoritmos de reducción en el K-espacio, nos aparecen, por primera vez, los sistemas de ecuaciones lineales, que nos permiten jugar con las intersecciones de los subespacios de kⁿ. Terminamos el capítulo cerrando dos grandes temas: Las aplicaciones lineales y la dualidad. En el Capítulo II se tratan tres grandes temas: Las matrices sobre cuyo estudio trataremos en todo lo que sigue, los determinantes y los sistemas de ecuaciones lineales; en estos últimos destaca como muy importante el teorema de Rouché-Frobenius. En el Capítulo III se estudian los vectores y valores propios de un endomorfismo, de una matriz, y en particular el Teorema de Hamilton-Cayley. Se sigue luego con la diagonalización de matrices, y en particular con las simétricas reales; destaca por su importancia la Ley de Inercia de Sylvester. El paso siguiente es el de la triangularización de matrices. A continuación, se estudia con detalle los denominados polinomio anulador y polinomio mínimo de una matriz. Cierra este capítulo dedicándole una lección al concepto de función matricial, sus propiedades y en particular al polinomio de interpolación de Lagrange-Sylvester. En el Capítulo IV, con una única lección, se dedica al polinomio mínimo de un vector de un K-espacio, y fundamentalmente a plantear las que llamaremos formas normales de una matriz. En el Capítulo V se estudian conceptos tan importantes como son los factores invariantes y divisores elementales de una matriz polinomial. En particular se trata la forma normal de Jordan y su determinación, contando para ello con el decisivo Método Caros. Por último, para la determinación de la matriz da paso a la forma de Jordan, se establece el no menos importante Método Jangel. Termina el capítulo con un abundante número de ejemplos de aplicación de los métodos anteriores.

En un primer libro traté los grupos, anillos y cuerpos; en el que siguió estudié los espacios vectoriales y las matrices, en forma muy exhaustiva. Haciendo un símil, este tercer libro es para mí como una pista de aterrizaje, por lo práctico en cuanto a sus ejercicios resueltos con la inestimable ayuda de la intuición, gracias a su sencillez. En cuanto a lo que se refiere a su estudio, sigo en la misma línea que los dos anteriores; este libro quiere seguir siendo el tutor de sus estudiantes, aclarándoles las dudas que puedan haberles surgido en una primera lectura, para lo que contarán con los numerosos ejemplos que siguen a cualquier definición o proposición que vaya a pareciendo. El esquema del libro sigue siendo idéntico al de los anteriores: Lecciones y aparados. Iniciamos con una primera lección que trata de explicar lo que se llama geometría de un grupo, estableciendo que la geometría proyectiva responde al grupo proyectivo, mientras que los grupos afín, unimodular afín y el ortogonal, nos conducen a otras tantas geometrías. La conclusión será que el grupo proyectivo será la base de la geometría proyectiva, mientras que al más restringido, el grupo ortogonal, le corresponderá la geometría euclídea. En las siguientes lecciones se estudian en forma muy práctica y sucesivamente, las geometrías, afín, del plano y del espacio, para terminar asociando a cualquier espacio afín un espacio vectorial. Terminamos el estudio tanto el plano euclídeo como el espacio euclídeo tridimensional, en el que además del producto escalar se definen el vectorial, el mixto y el doble producto vectorial. El abundante número de ejemplos de aplicación ha merecido dedicarles todo un apartado.

El pseudoformalismo es un procedimiento establecido para escribir verdades, de las que el lector, en el mejor de los casos, puede aprender a pseudofromalizarse. Un ejemplo cruel es el del estudiante que, presumiendo de saber definir el punto y la recta, dice; “Un punto es la intersección de dos rectas, para añadir enseguida, que: “Una recta es una sucesión de puntos”. Consciente del riesgo que se corre cuando se rompen moldes muy establecidos, pretendo, en este libro, como ellos que le han precedido, ayudar a nuestros estudiantes, de matemáticas, explicándoles más que exponiéndoles, llamando su atención de vez en cuando, sobre puntos que pudieran confundirles, y envolviéndoles con numerosos ejemplos, los que en muchas ocasiones aclaran las cosas. En el Capítulo I, se tratan las funciones reales de una variable real, los límites funcionales y en particular los indeterminados. Al plantear las funciones continuas, aparecen sus eventuales discontinuidades, para terminar con la definición de continuidad uniforme. En el Capítulo II, se trata la derivada de un punto, y el cálculo de derivadas. Se desarrollan los Teoremas de Rolle, Cauchy y Lagrange, así como la importante La regla de L'Hôpital. Al estudiar las derivadas sucesivas, nos vemos conducidos a la fórmula de Leibniz, y su generalización. Se estudian las Fórmulas de Taylor y Maclaurin, y los desarrollos limitados de una función. Por último, acometemos el estudio de los denominados máximos y mínimos relativos de una función, y cuando son absolutos. En el Capítulo III, iniciamos lo que se denomina Cálculo Integral, dedicando buena parte de él, a la práctica de la integración. Terminamos tratando las integrales paramétricas, y como podía ser de otra forma a las aplicaciones de la integral definida: Cálculo de longitudes, arcos y volúmenes. En el Capítulo IV, hemos dedicado especial atención a las denominadas funciones eulerianas (Beta y Gamma), así como a las conocidas como integrales elípticas, y sus correspondientes formas canónicas de Legendre. En el Capítulo V, se parte de un espacio euclidiano, estudiando en particular, las bases de espacios de dimensión infinitas, y en ellos las desigualdades de Bessel e igualdad de Parseval. Sobre el espacio de las funciones continuas por tramos se hace un estudio detallado de las series de Fourier. Por último se estudian los polinomios de Legendre, Hermite y Laguerre. En el Capítulo VI, se trata un tema que tantas aplicaciones tiene, como es el de la variable compleja. Sin ánimo de ser exhaustivos, se plantea aquí lo que son las generalidades, incluyendo el estudio de sus funciones elementales. Se aborda la integración en el campo complejo, dándole toda su importancia al Teorema de Cauchy, para las funciones regulares, o analíticas, se estudian las integrales de Cauchy, el Teorema de Taylor, y lo Teoremas de Liouville y Laurent. Ejemplarizamos por último abundantemente, el Teorema de los Residuos de Cauchy, la determinación del residuo de una función en el punto del infinito y el cálculo de integrales impropias.

El libro consta de tres capítulos: Topología, funciones de varias variables e integración de curvilíneas, dobles y triples, evidentemente ligados, si bien, tal vez el primero sobredimensionado para su utilización en el segundo, mientras que el tercero es bastante autónomo. Iniciamos nuestra andadura haciendo hincapié en la definición de familia fundamental sobre un conjunto, cuyo establecimiento se ayuda con números ejemplos y no pocas llamadas de atención, como ocurrirá a lo largo de todo el libro. Establecer el resto de este primer capítulo; observemos que el conjunto vacío juega un papel decisorio. Inmediatamente se define el importantísimo concepto de espacio topológico, bien por medio de las familias fundamentales, B(x), entornos de base abiertos de X, bien por la familia (τ), de los abiertos de base, definiciones ambas equivalentes. Nuestro vocabulario se enriquece enseguida al definir los entornos de un punto o de una parte, los puntos interiores y exteriores, los puntos frontera y la frontera, así como el conjunto denso respecto de otro. Las definiciones de conjunto abierto y conjunto cerrado, y su relación, nos muestran que con otro planteamiento hubieran podido servir para definir el espacio topológico. Se estudian luego los espacios que tienen especial importancia: Reparados, regulares, compactos, localmente compactos y los conexos. Llegados a este punto se está, ya, en condiciones de aceptar fácilmente el concepto de filtro sobre un conjunto, y todo lo que con él puede establecerse, como son punto límite y punto adherente, vitales para decidir en qué tipo de espacio topológico nos movemos. A partir de aquí se discuten los conceptos de continuidad en un punto, función continua y homeomorfia. Se tratan a continuación los espacios métricos, la distancia sobe un conjunto resulta fundamental para definir, en su caso, distintas topologías. Por otra parte se establece que todo espacio métrico es separado, regular y normal. La definición de sucesión de Cauchy nos establece lo que se entiende por espacio métrico completo. Aparece, ahora, y se le debe conceder toda su importancia, lo que debe entenderse por continuidad uniforme de una aplicación entre espacios métricos, comprobando que ésta implica la continuidad, no siendo cierto el recíproco; lo que sí se verifica si el dominio es compacto. Se cierra este capítulo en el estudio de los espacios vectoriales normados, que tanto juego han de dar en todo lo que sigue. En el segundo capítulo se estudian las funciones vectoriales de variable vectorial, y en particular las de varias variables reales. Las funciones más generales con que nos encontramos son aquellas en las que tanto el dominio como el codominio son espacios vectoriales normados, lo que permite establecer sobre ellos sendas topologías y particularizar, dentro de la generalidad, los conceptos más importantes estudiados en el capítulo anterior. En cualquier caso, exigiremos siempre, todo pare el dominio como pare el codominio, que se trata de un espacio real. Así hablaremos de continuidad y continuidad uniforme, dedicándole una atención especial al concepto de límite de una función, por la importancia que tiene en todo lo que sigue. El establecimiento de la derivación parcial culmina en el Teorema de Schwarz, que nos abre el camino para estudiarlo que se entenderá como diferencial de una función, concepto no nuevo para nosotros, puesto que lo habíamos establecido en el conjunto “derivadas y diferenciales” del tomo II, para funciones de TR en TR, que llamábamos diferenciables. Lo que hacemos ahora es generalizar ese concepto a funciones del R-espacio. La composición de funciones diferenciables y la correspondiente regla de la cadena, para este tipo de espacios, haciendo uso de lo que llamamos matriz jacobiana de una función en un punto del dominio de la función de que trate. Establecemos, a continuación, lo que llamamos derivada de una aplicación, entre espacios normados, según un vector, que identificaremos un vector, teniendo en cuenta que la tal derivada puede no existir, salvo que la aplicación sea diferenciable. La fórmula de los incrementos, que establece inmediatamente, generalizada la que en el caso de funciones reales de una variable real llamábamos formula de incremento finito. Se establece luego el concepto de función homogénea y el Teorema de Euler para las funciones diferenciables homogéneas. Consideramos, a continuación, lo que llamamos una función real de varias variables reales, para las que establecemos un resultado importante: las fórmulas de Taylor y de Maclaurin, que evidentemente generalizan las estudiadas, e el tomo II, en el caso de las funciones reales de variable real. A las funciones implícitas y a las inversas le dedicamos un alto en el camino, así como a lao que llamamos determinantes funcionales: jacobianos, hessianos y wronskianos. Especial atención dedicamos al estudio de lo que llamamos extremos libres, máximos y mínimos en los denominados puntos estacionarios. Para resolver los llamados casos dudosos manejaremos el método de Casanova y el de Von Dautscher. En el tercer Capítulo se estudian cuestiones que permiten clasificar como muy clásicas, como son en primer lugar las integrales curvilíneas en los dominios de dos y tres dimensiones, luego el concepto de integral doble, con su correspondiente interpretación geométrica, y en forma destacada la llamada fórmula de Green-Riemann. A continuación, se define la integral de superficie y la correspondiente fórmula de Sotokes, y se abordan integrales triples, destacando como muy importante la fórmula de Gauss-Ostrogradsky.